kleiner Mathematiktest

[Sulb]

Es gilt also z.B. , was man durch elementare Umformung der Potenzen auch leicht nachrechnen kann.
Wir zeigen nun, daß das für beliebige x Î R+die einzigen rationalen Losungen sind. Wenn x und y beide rational sind, muß auch und damit b rational sein. Sei also , mit p,q Î N und teilerfremd. Es gilt dann

.
x kann nur rational sein, wenn , mit r,s Î N, r > s und r,s teilerfremd .
daraus folgt p+q = rq ; p = sq und rq = sq+q .
Sei r = s+k mit k Î N0 , dann gilt ( s+k)q = sq+q·sq-1·k+...+kq = sq+q .
Diese Beziehung ist nur erfüllbar, wenn q = 1 und k = 1 . Somit liefert b = p Î N alle rationalen Lösungen.

Wenn b eine nicht ganze rationale Zahl ist, erhält man für x und y algebraische irrationale Zahlen. Da jedem x Î R mit 0 < x <e> e zugeordnet ist, gibt es natürlich Paare, bei denen die eine Zahl rational und die andere irrational ist. In diesem Fall muß wegen die Zahl b irrational sein.

Es sei noch erwähnt, daß es unter den Zahlenpaaren (x/y) genau eins gibt, bei welchem x und y im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen. Und zwar ist dies der Fall, wenn

bzw. b+1 = b2 gilt.

Die positive Lösung ist bekanntlich die Verhältniszahl des goldenen Schnitts (der Major in bezug auf den Minor 1) . Die beiden potenzkommutativen Zahlen sind dann xg = gg = 2,17845...

und yg = gg+1 = 3,52481... .

Das Besondere dieser beiden Zahlen ist, daß sowohl ihr gewöhnliches Verhältnis als auch ihr logarithmisches Verhältnis gleich g ist und zwar zu jeder beliebigen Basis:

.
Als Folge dieser Beziehungen gelten eine Reihe merkwürdiger Gleichungen, von denen wir hier einige aufführen.

x·g = xg = y ; ylog x = g ; glog y = g+1 ;
xlog g = ; ylog g = ; (xlog g)/(ylog g) = g usw.´bis Zahl6

Stimmt`s oder wie.........

--
\"Ich weiß, daß ich nicht`s weiß\";D