Rätsel - Achtung: Schwer!

[startom]

Bitte sehr und Viel Spass:

Sie haben 12 Münzen, von denen eine ein anderes Gewicht hat. Sie sollen mit nur 3 Wägungen herausfinden, welche Münze es ist, und sagen, ob die Münze schwerer oder leichter als die übrigen ist!
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Gruss aus der Schweiz
Tom

[DaKriss]

Ja das hat uns mal unser Mathelehrer gegeben, da gibt´s auch mehrere Lösungen und ich hab irgendwie zwei Stunden gebraucht um auf eine zu kommen. Die Lösung ist ziemlich lang, immer mit Fallunterscheidungen, muss nochmal kurz überlegen und den Geschirrspüler ausräumen. Sekunde...
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Das Leben ist kurz drum mach was draus.
Erheb dein Glas und trink es aus.

[Boxerboy0903]

Das Rätzel hab ich nicht verstanden.
Naja ist ja auch ein Pätzel
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DER MEISTER HAT GESPROCHEN

[startom]

Die Waage ist natürlich keine Digitale, sondern eine Pendel- oder Justitia- oder Apotheker-Waage oder wie man den Dingern sagt.


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Gruss aus der Schweiz
Tom

[DaKriss]

So:
Die Lösung ist ziemlich lang und ich versuch sie irgendwie übersichtlich zu halten, na mal schauen. Es gibt wie gesagt noch andere (mind. zwei), aber das ist halt meine.



Also: Zuerst werden die zwölf Münzen in drei Vierergruppen aufgeteilt. Die Gruppen 1, 2 und 3

Gruppe 1: 1 2 3 4 Gruppe 2: 5 6 7 8 Gruppe 3: 9 10 11 12


Anschließend werden die Gruppen 1 und 2 gegeneinander gewogen. Nun sind zwei Fälle möglich: Sie sind gleich oder halt ungleich. Ich betrachte zuerst den einfacheren Fall, dass sie gleich schwer sind:



Weil die Gruppen 1 und 2 gleich schwer sind muss die gesuchte Münze in der dritten Gruppe sein.

9 10 11 12


Wir wiegen nun zwei Zweiergruppen. Links zwei Münzen der dritten Gruppe und rechts eine Münze der dritten Gruppe und eine aus den anderen Gruppen, von denen wir wissen, dass sie normal schwer sind.

9 10 gegen 11 1

Sind beide Gruppen gleich schwer, ist die vierte Münze der dritten Gruppe, die gesuchte und muss nur noch gegen eine normal schwere gewogen werden.

12 gegen 1 -> Lösung

sind die Gruppen ungleich, sagen wir die linke schwerer als die rechte (könnte auch andersherum sein, ist am Beispiel aber leichter zu erklären und das Prinzip bleibt ja gleich.) sind die Münzen 9 und 10 potenziell schwerer und die Münze 11 potenziell leichter. Jetzt wiegen wir einfach 9 und 11 also zwei potenziell verschiedene Münzen gegen zwei normale.

9 11 gegen 1 2

1.Fall: Sie sind gleich: Münze 10 (die einzige von Gruppe 4 die noch übrig ist) ist die gesuchte und schwerer als die anderen.
2. Fall: die linke Seite ist schwerer: Münze 9 ist die gesuchte und schwerer als die anderen.
3. Fall: die linke Seite ist leichter: Münze 11 ist die gesuchte und leichter als die anderen.

Soviel zum ersten Teil der Lösung.



Die zweite Möglichkeit bei der ersten Wiegung ist, dass die Gruppen eins und zwei ungleich schwer sind. Auch hier nehme ich wieder ein konkretes Beispiel, weil ja nur das Prinzip klar werden soll und das ja unabhägig davon ist welche Seite denn nun leichter oder schwerer ist.
Also konkretes Beispiel: sie sind ungleich und die linke Seite ist leichter als die rechte.

1 2 3 4 leichter als 5 6 7 8


Also ist eine der Münzen aus Gruppe eins leichter oder eine Münze der Gruppe zwei schwerer als die anderen. So weit so gut. Beim nächsten Wiegeschritt muss richtig gemischt werden, so dass beim letzten Wiegeschritt auf jeden Fall höchstens eine Dreiergruppe übrigbleibt, denn nur so kann die Münze immer mit Sicherheit bestimmt werden. Da wir nur acht Münzen die potenziell anders sind übrig haben kommt eine aus der dritten normalen Gruppe dazu.

So haben wir drei Dreiergruppen und wiegen eine bestehend aus einer Münze der Gruppe eins und zwei Münzen der Gruppe zwei gegen eine Gruppe aus einer Münze der Gruppe eins, einer aus der Gruppe zwei und einer neutralen:

1 5 6 gegen 2 7 9 übrig: 3 4 8


Jetzt sind drei Fälle möglich.
1. Die beiden Gruppen sind gleich und die gesuchte ist in der dritten übrigen Gruppe. Dabei sind die Münzen 3 und 4 potenziell leichter und die Münze 8 potenziell schwerer.
Wir wiegen jetzt die Münzen 3 und 8 gegen zwei normale.

3 8 gegen 9 10


Sind sie gleich schwer ist Münze 4 die gesuchte und leichter als die anderen.
Sind sie schwerer ist Münze 8 die gesuchte und schwerer als die anderen.
Sind sie leichter ist Münze 3 die gesuchte und leichter als die anderen.



2. Die linke Seite ist schwerer als die rechte. Nun können entweder die Münzen 5 und 6 die gesuchten sein da sie potenziell schwerer sind oder die Münze 2 da sie potenziell leichter ist. Gleiches verfahren wie vorher. Einfach eine potenziell schwerere und eine potenziell leichtere gegen zwei normale.

5 2 gegen 9 10


Lösung analog zu Fall eins.



3. Die linke Seite ist leichter als die rechte. Nun ist entweder Münze 1 leichter als die anderen oder Münze 7 schwerer als die anderen. Eine von beiden wird gegen eine normale gewogen.

1 gegen 9


Sind beide gleich ist Münze 7 die gesuchte und schwerer oder Münze 1 ist leichter als die normale Münze und damit die gesuchte.



So. Das war´s schon. :-D
Viel Spaß und jedem der es bis hierher gelesen hat.

Ich hoffe es war annähernd verständlich. Und wie gesagt das ist nicht die einzige Lösung.

[AndyTheke]

Ich würde gar net wiegen, Münzen nehmen, und inner nächsten Kneipe in Weizen umtauschen... Fertig... :-)

Gruß
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Prost

[e-gitarristin]

@andytheke
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nur tote fische schwimmen gegen den wind!

[DaKriss]

@Andy: Dann modifizieren wir das ganze: Du hast 12 volle Weizengläser, doch alle bis auf eins, das etwas voller oder leerer ist (aber so, dass du´s im Rausch nicht erkennen kannst :-D ) sind schon eklig und schal. Oder da ist in Wirlichkeit Beck´s Gold drin oder so....:-D :-D :-D
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Das Leben ist kurz drum mach was draus.
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